Question

【題目】如圖1，菱形ABCD中，CH⊥AB，垂足為H，交對角線AC于M，連接BM，且AH=3．

（1）求DM的長；

（2）如圖2，動點P從點A出發，沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，當點P在邊AB上運動時，是否存在這樣的t的值，使∠MPB與∠BCD互為余角？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DM=（2）S=-t+或S=t-.（3）存在，1.

【解析】

試題分析：（1）由菱形的性質得到條件，判斷出△AMH∽△CDM，由勾股定理計算出DH，即可；

（2）由△BCM≌△DCM計算出BM=DM，分兩種情況計算即可；

（3）由菱形的性質判斷出△ADM≌△ABM，再判斷出△BMP是等腰三角形，即可．

試題解析：（1）在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，

∴DH=4，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，

∴∠BAC=∠DCA，

DH⊥AB，

∴△AMH∽△CDM，

∴

∴

∵DH=4，

∴DM=

（2）在△BCM和△DCM中，

∴△BCM≌△DCM，

∴BM=DM=，∠CDM=∠CBM=90°

①當P在AB之間時，S=（5-2t）×=-t+．

②當P在BC之間時，S=（2t-5）×=t-.

（3）存在，

∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，

∴∠ADM+∠BCD=90°，

∵∠MPB+∠BCD=90°，

∴∠MPB=∠ADM，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAM=∠BAM，

∵AM=AM，

∴△ADM≌△ABM，

∴∠ADM=∠ABM，

∴∠MPB=∠ABM，

∵MH⊥AB，

∴PH=BH=，

∴BP=2BH=3，

∵AB=5，

∴AP=2，

∴t==1．