Question

【題目】如圖，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC，E 為 CD 的中點，連接 AE、BE，延長 AE 交 BC 的 延長線于點 F.

（1）△DAE 和△CFE 全等嗎？說明理由；

（2）若 AB=BC+AD，說明 BE⊥AF；

（3）在（2）的條件下，若 EF=6，CE=5，∠D=90°，你能否求出 E 到 AB 的距離？如果能 請直接寫出結果.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5

【解析】（1）根據平行線的性質可得∠ADE=∠FCE，根據中點定義可得DE=EC，結合對頂角相等即可根據“ASA”得到△ADE≌△FCE；

（2）由全等三角形的性質可得AD=CF，AE=EF，從而AB=BF，E為為 AF 中點，由三線合一的性質知BE⊥AF，BE平分∠ABC；

（3）由（2）知BE平分∠ABC，根據角平分線的性質即可得到答案.

（1）△DAE≌△CFE 理由如下：

∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內錯角相等），

∵E 是 CD 的中點（已知），

∴DE=EC（中點的定義）．

∵在△ADE 與△FCE 中，

∵ADC＝ECF（已證），

DE＝EC（已證），

AED＝CEF（對頂角相等），

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由（1）得△ADE≌△FCE，

∴AD=CF，AE=EF（全等三角形的對應邊相等），

∴E 為 AF 中點，即 BE 是△ABF 中 AF 邊上的中線，

∵AB=BC+AD，

∴AB=BC+CF=BF，

∴BE⊥AF（三線合一）；

（3）∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠BCE=90°,

∵CE=5，

∴E 到 AB 的距離等于5.