Question

在直角坐標系中，點A的坐標是（3，0），點P在第一象限內的直線y=-x+4上．設點P的坐標為（x，y）．
（1）在所給的坐標系中畫出直線y=-x+4；
（2）求△POA的面積S與變量x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當S=時，求點P的坐標，畫出此時的△POA，并用尺規作圖法，作出其外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（1）直線y=-x+4分別交x軸、y軸于（4，0）（0，4）；
如圖所示：

（2）∵點P在第一象限，
∴點P的縱坐標y的絕對值|y|就是△POA的邊OA上高的值，
∴S=•OA•y=y，即S=y，
而點P為線段BC上一點，故y=-x+4，
∴S=（-x+4）=-x+6，
又而點P在線段BC上，自變量x的取值范圍為：0＜x＜4
即所求S與變量x的函數關系式為：
S=-x+6（0＜x＜4），

（3）若S=，則有=y，y=3，
代入y=-x+4，得x=1，
∴點P的坐標為（1，3），
用尺規分別作出△POA的OA、OP（或AP）邊的垂直平分線，
以兩線交點為圓心、圓心到任一頂點為半徑，作圓，即為△POA的外接圓（圖形略）．【以圖形為準給分，不必寫作法】
分析：（1）先求出直線y=-x+4x軸、y軸的交點，再根據題意畫出直線y=-x+4即可；
（2）先寫出△POA的面積S的表達式，在將其中的y替換成x的函數即可；
（3）先求出P點坐標，作出△POA，再以△POA兩邊垂直平分線的交點為圓心、圓心到任一頂點為半徑，作圓，即為△POA的外接圓．
點評：本題主要考查了一次函數的綜合題，解答要注意數形結合思想的運用，是各地中考的熱點，要求同學們作圖規范，同學們要加強訓練，屬于中檔題．