Question

兩只全等的直角三角板ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=4．固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：

（1）如圖 （1），將△DEF沿線段AB以1cm/s的速度向右平移（即D點在線段AB內移動），連接DC、CF、FB，顯然，隨著時間x的變化，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，探究它的面積是否變化：如果變化，試用x的代數式表示四邊形CDBF的面積S；如果不變，說明理由，并求出其面積．
（2）在備用圖（2）中嘗試解決：
①運動過程中四邊形CDBF有可能是正方形嗎？如果可能，求出x，如果沒有簡要說明理由．
②當x為何值時，四邊形CDBF為菱形？說明理由．
（3）如圖（3），在（2）②的情況下，將△DEF的D點固定，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，連接AE，設∠AED=α，旋轉的角度為β，
①當β=60°時，畫出圖形，并請你求出sinα的值．
②當0°≤β≤180°時，試寫出sinα的最大值．

Answer 1

分析：（1）過C作CG⊥AB于G，解直角三角形求出CG、AB，根據平移的性質得到CF∥AE，AD=CF，然后利用梯形的面積公式列式求解即可得到四邊形CDBF的面積不變，為定值；
（2）①再求出AG，可得AG≠CG，從而得到CG≠CF，然后判斷出四邊形CDBF不可能是正方形；
②根據菱形的四條邊都相等可得CD=CF，然后求出AD=CF求出AD=CD，從而判斷出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得AD=AC，從而得解；
（3）①β=60°時，點B、F重合，解直角三角形求出AB、BC，即可得到DE、EF，再利用勾股定理列式求出AE，過點D作DG⊥AE于G，然后利用△AGD和△ABE相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出DG，再利用銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；
②根據DE的長度不變可知當AD⊥DE是sinα的值最大，然后列式即可得解．

解答：解：（1）如圖，過C作CG⊥AB于G，
∵∠A=60°，AC=4，
∴CG=AC•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
AB=AC÷cos60°=4÷

1

2

=8，
由平移的性質可得CF∥AE，AD=CF，
∴四邊形CDBF的面積=

1

2

（CF+BD）•CG，
=

1

2

（AD+BD）•CG，
=

1

2

AB•CG=

1

2

×8×2

3

，
=8

3

，（不變為定值）；

（2）①∵AG=AC•cos60°=4×

1

2

=2，
∴AG≠CG，
∴當點D運動到點G時，點C運動到點F，
CF=AG≠CG，
∴四邊形CDBF不可能是正方形；
②∵四邊形CDBF為菱形，
∴CD=CF，
又∵AD=CF，
∴AD=CD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD=AC=4，
即x=4時，四邊形CDBF為菱形；

（3）①當β=60°時，如圖所示，
∵AB=8，BC=AC•tan60°=4

3

，
∴DE=AB=8，EF=BC=4

3

，
根據勾股定理，AE=

AB2+EF2

=

82+(4 3 )2

=4

7

，
過點D作DG⊥AE于G，則△AGD∽△ABE，
∴

DG

EF

=

AD

AE

，
即

DG

4 3

=

4

4 7

，
解得DG=

4 21

7

，
∴sinα=

DG

DE

=

4 21 7

4 3

=

7

7

；
②∵DE的長度不變，
∴當AD⊥DE時，sinα的值最大，
最大值為

AD

DE

=

4

8

=

1

2

．

點評：本題是幾何變換綜合題型，主要考查了平移變換的性質，解直角三角形，正方形的判定，菱形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質，銳角三角函數，（3）難度稍大，根據DE的長度不變判斷出∠AED所在的直角三角形是解題的關鍵．