Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交于兩點，于點，點為直線上不與點重合的一個動點.

(1)求線段的長；

(2)當的面積是6時，求點的坐標；

(3)在軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與全等，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，否則，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)； (2) (-4，6)； (3) (，)或(，)或(，)或(，)

【解析】

(1)先求得點A、B的坐標，可求得OA、OB、AB的長，利用面積法即可求得OM的長；

(2)先畫圖，確定△BOP面積可以BO為底，P到y軸距離為高求得P到y軸距離，再分類討論求得答案；
(3)分△OMP≌△PQO與△OMP≌△OQP兩種情況討論，結合圖象分析即可求解．

(1)對于直線，

令，則，令，則，

點A、B的坐標分別是(4，0)，(0，3)，

∴OA=4，OB=3，AB=，

∵，

∴；

(2)過P作PC⊥y軸于C，如圖1，

∴OBPC=6，
∴PC=4，
∴點P的橫坐標為4或-4，
∵點P為直線上的一個動點且不與A、B重合，
∴橫坐標為4時，與A重合，不合題意，

∴橫坐標為-4時，縱坐標為：，

∴當點P坐標為(-4，6)時，△BOP的面積是6；

(3)存在，理由如下：

①當△OMP≌△PQO時，如圖2和圖3，

由(1)得，

∴PQ=OM=，即P點橫坐標為或，

縱坐標為：或，

此時點P的坐標為(，)，(，)；

②當△OMP≌△OQP時，如圖4和圖5，

∴OQ=OM=，即即點P、點Q縱坐標為或，

由，解得：；

由，解得：；

此時點P的坐標為(，)，(，)；

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(，)或(，)或(，)或(，) ．