Question

如圖1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，折痕為DE．
（1）求OD的長；
（2）連接BE，四邊形OEBD是什么特殊四邊形？請運用所學知識進行說明；
（3）以O點為坐標原點，OC、OA 所在的直線分別為x軸、y軸（如圖2），求直線EF的函數表達式．

Answer 1

解：（1）如圖1，
∵矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，
∴OD=DB，
設OD=x，則DB=x，AD=8﹣x，
在Rt△AOD中，OA=4，
∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8﹣x）²+4²，解得x=5，
所以OD的長為5；

（2）四邊形OEBD是菱形．理由如下：
∵矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，
∴∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD=OE，
∴OD=DB=BE=OE，
∴四邊形OEBD是菱形；
（3）過F作FG⊥x軸于G，如圖2，
∵矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，
∴OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，
∴E點坐標為（5，0）；
∵ OE·GF=OF·EF，
∴GF==，
在Rt△OFG中，OG===，
∴F點坐標為（，﹣），
設直線EF的解析式為y=kx+b，
把E（5，0）和F（，﹣）代入得，5k+b=0，k+b=﹣，解得k=，b=﹣，
∴直線EF的函數表達式為y=x﹣．