Question

24、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱；
（2）探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）等腰梯形、矩形、正方形，任選兩個(gè)即可；
（2）等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于一條對(duì)角線的長(zhǎng)．分兩種情況證明：當(dāng)BC與CE不在同一條直線上時(shí)，60°角所對(duì)的兩邊之和大于其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)；當(dāng)BC與CE在同一條直線上時(shí)60°角所對(duì)的兩邊之和等于其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)．

解答：解：（1）等腰梯形、矩形、正方形．
（2）結(jié)論：等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于一條對(duì)角線的長(zhǎng)．
已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC=BD，
且∠AOD=60度．
求證：BC+AD≥AC．
證明：過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．
連接CE，BE．
故∠EDO=60°，四邊形ACED是平行四邊形．
所以△BDE是等邊三角形，CE=AD．
所以DE=BE=AC．
①當(dāng)BC與CE不在同一條直線上時(shí)（如圖1），
在△BCE中，有BC+CE＞BE．
所以BC+AD＞AC．
②當(dāng)BC與CE在同一條直線上時(shí)（如圖2），
則BC+CE=BE．
因此BC+AD=AC
綜合①、②，得BC+AD≥AC．
即等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了平行四邊形的判定和三角形的有關(guān)知識(shí)，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問(wèn)題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系．