Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如圖1，若A，B兩點的坐標分別是A（0，4），B（﹣2，0），求C點的坐標；

（2）如圖2，作∠ABC的角平分線BD，交AC于點D，過C點作CE⊥BD于點E，求證：CE= BD；

（3）如圖3，點P是射線BA上A點右邊一動點，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點，當點P運動時，點Q是否恒在射線BD上？若在，請證明；若不在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，作CM⊥OA垂足為M，

∵∠AOB=∠BAC=90°，

∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠CAM，

在△ABO和△CAM中，

，

∴△ABO≌△CAM，

∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO﹣AM=2，

∴點C坐標（4，2）

（2）

證明：如圖2，延長CE，BA相交于點F，

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠EBF=∠ACF，

在△ABD和△ACF中 ，

∴△ABD≌△ACF（ASA），

∴BD=CF，

在△BCE和△BFE中， ，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴CE=EF，

∴CE= BD

（3）

解：結論：點Q恒在射線BD上，

理由如下：

如圖3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分別為E、G、H、M、N．

在四邊形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，

∴∠MQN=180°﹣∠ABC=135°，

同理可證：∠HQG=135°，

∴∠MQN=∠HQG，

∴∠MQH=∠GQN，

∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，

∴QE=QH=QG，∠QPH= ∠CPF=22.5°，

∵∠PMQ=∠PHQ=90°，

∴M、H、Q、P四點共圓，

∴∠HMP=∠HPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，

∴∠FMQ=∠QNG，

在△MHQ和△NGQ中，

，

∴△MHQ≌△NGQ，

∴QM=QN，

∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴BQ平分∠ABC，

∴點Q恒在射線BD上

【解析】（1）要求點C坐標，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質求出OM、CM即可；（2）延長CE、BA相交于點F．可以證明Rt△ABD≌Rt△ACF，再證明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出結論；（3）點Q是否恒在射線BD上，只要證明QM=QN，只要證明△M，HQ≌△NGQ即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用全等三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．