Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，折痕為FG，且BG=10．
求證：四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD是矩形，根據折疊的性質，易證得△EFG是等腰三角形，即可得EF=BG，又由EF∥BG，即可得四邊形BGEF為平行四邊形，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形BGEF為菱形；
過點F作FK⊥BG于K，可得四邊形ABKF是矩形，然后根據勾股定理，即可求得AF的長，繼而求得FG的長．

解答：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG=∠BGF，
∵圖形翻折后點B與點E重合，GF為折線，
∴∠BGF=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=GE，
∵圖形翻折后BG與GE完全重合，
∴BG=GE，
∴EF=BG，
∴四邊形BGEF為平行四邊形，
∴四邊形BGEF為菱形；
過點F作FK⊥BG于K，
∴四邊形ABKF是矩形，
∴FK=AB=8，BK=AF，
在Rt△ABF中，AB=8，∠A=90°，BF=BG=10，
∴AF=

BF2-AB2

=6，
∴GK=BG-BK=10-6=4，
∴FG=

FK2+GK2

=4

5

．

點評：此題考查了折疊的性質，平行四邊形的判定與性質，菱形的判定，矩形的性質，以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．