Question

思考：
（1）如圖①，AD為△ABC邊上的中線，則△ABD和△ACD面積之間的關系為

 

，理由

 

．
（2）如圖②，在△ABC和△DEF中AC=DE，BC=EF，且∠ACB+∠DEF=180°．則△ABC和△DEF的面積之間的關系為

 

．
發現：兩邊對應相等，且兩邊所夾的角互補的兩個三角形的面積

 

．
應用：
（3）如圖③在△ABC中，∠BAC=90°，角平分線BD、CE交于點I，連接DE，
①求∠BIE的度數．
②若△BIC的面積是S平方米，求四邊形BCDE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的面積公式，兩三角形等底同高，所以它們的面積也相等；
（2）過點A作△ABC的BC邊上的高，過點D作△DEF的邊EF上的高，可以利用HL證明兩高相等，所以兩三角形等底等高，面積相等；
（3）①先求出

1

2

（∠ABC+∠ACB）的度數，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答；
②在BC上截取BM=BE、CN=CD，根據SAS定理可以證明△BIE≌△BIM，△CID≌△CIN，再根據全等三角形對應邊相等得到EI=MI，DI=NI，全等三角形對應角相等，推出∠EID與∠MIN互補，從而得到△DIE與△MIN的面積相等，最后求出四邊形BCDE的面積等于△BIC的面積的2倍．

解答：解：（1）相等，等底同高面積相等；
（2）相等，相等；

（3）①∵∠BIE=

1

2

（∠ABC+∠ACB）（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-90°=90°，
∴∠BIE=

1

2

（180°-∠A）=45°；

②在BC上截取BM=BE、CN=CD，
則△BIE≌△BIM（SAS），△CID≌△CIN（SAS），
∵∠BIM=∠BIE=45°，∠CIN=∠CID=45°，
即∠EIM=∠DIN=90°，
∴∠DIE+∠MIN=180°，
∴S_△DIE=S_△MIN，
∴S_{四邊形BCDE}=2S_△BCI=2S．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，讀懂題目信息是解題的關鍵，根據信息作輔助線構造出符合信息的圖形是本題的難點．