Question

（2013•普陀區二模）如圖，拋物線y=x²+bx-c經過直線y=x-3與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線上的一個動點，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的點P的坐標；
（3）點M為平面直角坐標系上一點，寫出使點M、A、B、D為平行四邊形的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）對于一次函數y=x-3，分別令x與y為0求出對應y與x的值，確定出A與B的坐標，代入拋物線解析式得到關于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式求出C與D坐標，根據P為拋物線上的點，設P（a，a²-2a-3），三角形APC由AC為底，P縱坐標絕對值為高，利用三角形面積表示出，三角形ACD面積由AC為底，D縱坐標絕對值為高表示出，根據題意列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出此時P的坐標；
（3）畫出圖形，如圖所示，根據題意得到A、B、C分別為M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中點，由四邊形ADBM₁為平行四邊形，利用平行四邊形的對角線互相平分得到AB與M₁D互相平分，即E為AB中點，E為M₁D中點，根據A與B的坐標求出E的坐標，再利用線段中點坐標公式求出M₁坐標；進而求出M₂、M₃的坐標即可．

解答：解：（1）∵直線y=x-3與坐標軸的兩個交點A、B，
∴點B（0，-3），點A（3，0），
將A與B坐標代入拋物線y=x²+bx-c得：

-c=-3 9+3b-c=0

，
解得：c=3，b=-2，
則拋物線的解析式是y=x²-2x-3；

（2）∵拋物線的解析式是y=x²-2x-3，
∴C（-1，0），頂點D（1，-4），
由點P為拋物線上的一個動點，故設點P（a，a²-2a-3），
∵S_△APC：S_△ACD=5：4，
∴（

1

2

×4×|a²-2a-3|）：（

1

2

×4×4）=5：4，
整理得：a²-2a-3=5或a²-2a-3=-5（由△＜0，得到無實數解，舍去），
解得：a₁=4，a₂=-2，
則滿足條件的點P的坐標為P₁（4，5），P₂（-2，5）；

（3）如圖所示，A、B、C分別為M₁M₃、M₁M₂、M₂M₃的中點，
∵四邊形ADBM₁為平行四邊形，
∴AB與M₁D互相平分，即E為AB中點，E為M₁D中點，
∵A（3，0），B（0，-3），
∴E（

3

2

，-

3

2

），
又∵D（1，-4），
∴M₁（2，1），
∴M₂（-2，-7），M₃（4，-1），
則滿足題意點M的坐標為：M₁（2，1），M₂（-2，-7），M₃（4，-1）．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定與性質，坐標與圖形性質，一次函數與坐標軸的交點，二次函數的性質，以及待定系數法確定函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．