Question

（2012•鐵嶺）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．連接BD，AE⊥BD垂足為E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）求線段AE的長．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性質可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可證△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性質可知，BD=2BE，根據△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE．

解答：（1）證明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；

（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得

AB

BD

=

BE

BC

，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴

25

2BE

=

BE

32

，
∴BE=20，
∴AE=

AB2-BE2

=

252-202

=15．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質．關鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質及勾股定理解題．