Question

(本題12分) 如果一個正整數能夠表示為兩個連續的偶數的平方差,那么稱這個正整數為“神秘數”.如4=2²－0²；12=4²－2²；20=6²－4².因此4、12、20這三個數都是神秘數.
(1)請你寫出50以內的兩個神秘數（除4、12、20外），并判斷2012是否是神秘數？（不要說明理由）
(2)設兩個連續偶數為2+2和2 (其中為非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎?說明理由.
(3)試說明：兩個連續奇數的平方差(取正數)不是神秘數.

Answer 1

解：（1）根據題意，得      ……
所以50以內的神秘數有28，36等。
設，解得k=251
即 所以2012是神秘的數。
（2）因為所以由兩個連續偶數2k+2和2k的平方差構成的神秘數是4的倍數。
（3）設2k+1和2k-1是兩個連續的奇數，則
即兩個連續的奇數的平方差是8的倍數，所以肯定是4的倍數，根據（2）的結論是4的倍數就可以寫成兩個連續偶數的平方差，所以兩個連續奇數的平方差也是神秘的數。