Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，把△ABC繞AC邊的中點M旋轉后得△DEF，若直角頂點F恰好落在AB邊上，且DE邊交AB邊于點G，若AC=4，BC=3，則AG的長為(　　)

A.B.C.D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接CF，先證明△ACF為直角三角形，再由△ABC中等面積法求出CF，進而求出AF；再證明△DEF為直角三角形，且G為DE的中點，最后AG=AF-GF即可求解.

解：連接CF，如下圖所示：

∵M是AC的中點，∴MC=MA

∵M是旋轉中心，C繞M點旋轉后的落點為F

∴MC=MF

∴∠MCF=∠MFC，

∴MA=MC=MF

∴∠MFA=∠A

在△ACF中，由內角和定理知：∠A +∠MFA+∠ACF+∠CFM=180°

故2∠AFM+2∠CFM=180°

∴∠AFC=90°

∴△ACF為直角三角形，CF⊥AB

由△ABC等面積法知：，且AB=5

代入數據解得CF=

∴

∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACF=90°

∴∠ACF=∠B

又DF⊥EF，

∴∠AFD+∠AFE=90°

∵∠AFD+∠MFC=90°

∴∠AFE=∠MFC=∠ACF

由知：∠B=∠AFE

又由旋轉知：∠B=∠E

∴∠AFE=∠E，即GF=GE

由旋轉知：∠A=∠D

又∠A=∠AFM

∴∠D=∠AFM，

∴GF=GD

故GF=GE= GD

∴G為Rt△DEF斜邊DE上的中點

∴

∴

故答案為：A.