Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂內切于點P，且⊙O₁過點O₂，PB是⊙O₂的直徑，A為⊙O₂上的點，連接AB，過O₁作O₁C⊥BA于C，連接CO₂．已知PA=

4

3

，PB=4．
（1）求證：BA是⊙O₁的切線；
（2）求∠BCO₂的正切值．

Answer 1

分析：（1）由題意得O₁C⊥BA，證得O₁C為半徑即可；
（2）應把∠BCO₂進行轉移，轉移到已求得的線段的比值．

解答：（1）證明：∵PB是⊙O₂的直徑，A為⊙O₂上的點，
∴∠PAB=90°．
又∵O₁C⊥BA，
∴△PAB∽△O₁CB．
∵PA=

4

3

，PB=4，
∴0₁C=1．
∴O₁C是⊙O₁的半徑，
∵O₁C⊥BA于C，
∴BA是⊙O₁的切線．

（2）解：BC=

01B2-01C2

=

8

，
連接PC；
∵∠B=∠B，∠BCO₂=∠BPC，
∴△BPC∽△BCO₂，
∴O₂C：CP=BO₂：BC=2：

8

=tanBPC=tanBCO₂，
（在Rt△PCO₂中，tanBPC=O₂C：CP）
∴tanBCO₂=

2

2

．

點評：證得直線為切線的條件：到圓心的距離等于半徑，與半徑垂直；要求的三角函數值需轉移到已知的線段的比．