Question

【題目】我們知道：有一內角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地我們定義：有一內角為45°的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A（2，0），B（－2，0），D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)， BC與經過A、B、D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結AE，BD．顯然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．

（1）求證：ΔABC是半直角三角形；

（2）求證：∠DEC=∠DEA；

（3）若點D的坐標為（0，8），求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）先求得∠ADE＝45°，由同弧所對的圓周角可知：∠ABE＝∠ADE＝45°，根據定義得：△ABC是半直角三角形；

（2）根據垂直平分線的性質得：AD＝BD，由等角對等邊得：∠DAB＝∠DBA，由D、B、A、E四點共圓，則∠DBA+∠DEA＝180°，可得結論；

（3）設⊙M的半徑為r，根據勾股定理列方程為：（8﹣r）2+22＝r2，可得⊙M 的半徑為，由同弧所對的圓心角和圓周角的關系可得∠EMA＝2∠ABE＝90°，根據勾股定理可得結論．

解：（1）∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝45°，

∵∠ABE＝∠ADE＝45°，

∴△ABC是半直角三角形；

（2）∵OM⊥AB，OA＝OB，

∴AD＝BD，

∴∠DAB＝∠DBA，

∵∠DEB＝∠DAB，

∴∠DBA＝∠DEB，

∵D、B、A、E四點共圓，

∴∠DBA+∠DEA＝180°，

∵∠DEB+∠DEC＝180°，

∴∠DEA＝∠DEC；

（3）①如圖1，連接AM，ME，

設⊙M的半徑為r，

∵點D的坐標為（0，8），

∴OM＝8﹣r，

由OM2+OA2＝MA2得：（8﹣r）2+22＝r2，

解得r＝，

∴⊙M 的半徑為，

∵∠ABE＝45°

∴∠EMA＝2∠ABE＝90°，

∴EA2＝MA2+ME2＝()2+()2，

∴