Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，且B（1，0）

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標；

（2）如圖1，點P是直線y=x上的動點，當直線y=x平分∠APB時，求點P的坐標；

（3）如圖2，已知直線y=x﹣分別與x軸、y軸交于C、F兩點，點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點，過點Q作y軸的平行線，交直線CF于點D，點E在線段CD的延長線上，連接QE．問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點坐標為（﹣3，0）；（2）；P點坐標為（， ）；（3）以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為．

【解析】試題分析：（1）把B點的坐標代入拋物線的解析式，求出a的值即可，令y=0，解方程求得x的值，即可得點A的坐標；（2）當點P在x軸上方時，連接AP交y軸于點B′，可證△OBP≌△OB′P，可求得B′坐標，利用待定系數法可求得直線AP的解析式，聯立直線y=x，可求得P點坐標；當點P在x軸下方時，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內部，可知此時沒有滿足條件的點P；（3）過Q作QH⊥DE于點H，由直線CF的解析式可求得點C、F的坐標，結合條件可求得tan∠QDH，可分別用DQ表示出QH和DH的長，分DQ=DE和DQ=QE兩種情況，分別用DQ的長表示出△QDE的面積，再設出點Q的坐標，利用二次函數的性質可求得△QDE的面積的最大值．

試題解析：

（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，

可得a+2﹣3=0，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，

∴A點坐標為（﹣3，0）；

（2）若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

如圖1，若P點在x軸上方，PA與y軸交于點B′，

由于點P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，

在△BPO和△B′PO中，

∠POB=∠PCB/，OP=OP，∠BPO=∠B/PO，

∴△BPO≌△B′PO（ASA），

∴BO=B′O=1，

設直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點坐標代入可得

，解得，

∴直線AP解析式為y=x+1，

聯立，解得，

∴P點坐標為（， ）；

若P點在x軸下方時，同理可得△BOP≌△B′OP，

∴∠BPO=∠B′PO，

又∠B′PO在∠APO的內部，

∴∠APO≠∠BPO，即此時沒有滿足條件的P點，

綜上可知P點坐標為（， ）；

（3）如圖2，作QH⊥CF，交CF于點H，

∵CF為y=x﹣，

∴可求得C（，0），F（0，﹣），

∴tan∠OFC==，

∵DQ∥y軸，

∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，

∴tan∠HDQ=，

不妨設DQ=t，DH=t，HQ=t，

∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，

∴若DQ=DE，則S△DEQ=DEHQ=×t×t=t2，

若DQ=QE，則S△DEQ=DEHQ=×2DHHQ=×t×t=t2，

∵t2＜t2，

∴當DQ=QE時△DEQ的面積比DQ=DE時大．

設Q點坐標為（x，x2+2x﹣3），則D（x， x﹣），

∵Q點在直線CF的下方，

∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，

當x=﹣時，tmax=3，

∴（S△DEQ）max=t2=，

即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為．