Question

19．一串數：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…
（1）第800個數是多少？
（2）$\frac{5}{17}$是第幾個數？
（3）前552個數的和是多少？
（4）前n個數的和能否等于106，如果能，試求出n的值，如果不能，試說明理由．

Answer 1

分析 分母是1的分數有1個，分母是2的分數由3個，分母是3的分數有5個，…分母是n的分數有2n-1個；分子都是從1開始到與分母的數字相同連續的自然數，再倒數回到1，由此規律解決問題：
（1）首先要計算第800個數之前最大的平方是：當n=28時，n²=784，第784個數是分母為28的最后一個數，
所以可以找到第800個數；
（2）先找分母是16的最后一個數是第16²個數，16²=256，再向右數5個即可，因為同一個分母的數除中間為1的數是一個外，其余都是2個，所以倒數第5個數也是$\frac{5}{17}$，得出結論；
（3）同（1）同理，先計算第552個數之前最大的平方數：當n=23時，n²=529，先計算分母為1至23的所有分數之和：1+2+3+…+23的值，再確定第529到552之間數的和，最后相加即可；
（4）因為分母為n的分數有2n-1個，且這2n-1個分數相加和為n．所以前分母為n的分數之和=$\frac{n（n+1）}{2}$，確定當n為最大時，最接近106時的n=14，即前196個數的和=$\frac{14×15}{2}$=105，與106還相差1，分母為15的分數能否達到幾個分數和為1，來判斷．

解答 解：觀察數列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，
可發現：分母為1的分數有1個，分母為2的數有3個，分母為3的數有5個，
∴可得出：分母為n的分數有2n-1個，且這2n-1個分數相加和為n．
第1²個是分母為1的最后一個，
第2²個是分母為2的最后一個，
…
第n²個是分母n的最后一個
（1）∵1+3+5+…+2n-1=n²，
∴令n²≤800，
解得：n≤28，
當n=28時，n²=784，
∴第784個數是分母為28的最后一個數，
∴第800個數的分母為29，分子為800-784=16，
∴第800個數為$\frac{16}{29}$．
（2）∵16²+5=256+5=261，
17²-4=289-4=285，
∴$\frac{5}{17}$是第261個數或第285個數．
（3）令n²≤552，
解得：n≤23，
當n=23時，n²=529，
即前529個數的和=1+2+3+…+23=24×11+12=276，
第530至第552個數之間一共有：552-530+1=23個數，
第530至第552個數的和為：$\frac{1}{24}$+$\frac{2}{24}$+$\frac{3}{24}$+…+$\frac{23}{24}$=$\frac{276}{24}$=11.5，
∴前552個數的和是：276+11.5=287.5；
（4）分母為n時，前n²個數的和為：$\frac{n（n+1）}{2}$，
當n=14時，前14²=196個數的和為：$\frac{14×15}{2}$=105，
第197個數開始為分母是15的數：$\frac{1}{15}$+$\frac{2}{15}$+$\frac{3}{15}$+$\frac{4}{15}$+$\frac{5}{15}$=1，
105+1=106，
所以存在前n個數的和等于106，此時n=196+5=201．

點評 此題考查數字的變化規律，難度較大，找出數字之間的聯系，得出規律，解決問題．