Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 OABC 為菱形，點 C 的坐標為（4,0），∠AOC = 60°，垂直于 x 軸的直線 l 從 y 軸出發，沿 x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運動，設直線 l 與 菱形 OABC 的兩邊分別交與點 M、N（點 M 在點 N 的上方）．

（1）求 A、B 兩點的坐標；

（2）設 OMN 的面積為 S，直線 l 運動時間為 t 秒（0 ≤t ≤6 ），試求 S 與 t 的函數表達 式；

（3）在題（2）的條件下，t 為何值時，S 的面積最大？最大面積是多少．

Answer 1

【答案】（1）A(2,)，B(6,)；（2）當時，；當，；當時，；（3）秒時，．

【解析】

（1）根菱形性質得出OA=AB=BC=CO=4，過A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；

（2）依題意可分為三種情況：①當0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，畫出圖形求出即可；

（3）根據（2）中各函數的性質和各自的自變量的取值范圍可得出S的最大值及對應的t的值．

解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點C的坐標為(4,0)，

∴

過點A作于D.

∵

∴,

∴A(2,)，B(6,).

（2）∵，

∴，

直線l從y軸出發，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：

①當時，直線l與直線OA，OC兩邊相交，

∴，

則；

②當時，直線l與AB、OC兩邊相交，

則；

③當時，直線l與AB、BC兩邊相交，

設直線l與x軸相交于H點，

∵，

∴；

綜上所述：，

（3）由（2）知，當時，；

當時，；

∵的對稱軸為，

∴函數，當時，S隨的增大而減小，

即時，S取得最大值：，

綜上所述，當秒時，．