Question

【題目】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如圖（1），則根據勾股定理，得a2＋b2＝c2．若△ABC不是直角三角形，如圖（2）和（3），請你類比勾股定理，試猜想a2＋b2與c2的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：若△ABC為銳角三角形，則有a2＋b2＞c2，若△ABC為鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2＋b2＜c2．

證明：（1）當△ABC為銳角三角形時，過點A作AD⊥CB，垂足為D，設CD＝x，則有DB＝a－x．

根據勾股定理，得b2－x2＝c2－（a－x）2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2．

∴a2＋b2＝c2＋2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，

∴a2＋b2＞c2．

（2）當△ABC為鈍角三角形時，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，設CD＝x，則BD2＝a2－x2．根據勾股定理，得（b＋x）2＋（a2－x2）＝c2，∴a2＋b2＋2bx＝c2．

∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2＋b2＜c2．