Question

如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．
（1）要使長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？
（2）你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）等量關系為：（原來長方形的長-2正方形的邊長）×（原來長方形的寬-2正方形的邊長）=48，把相關數值代入即可求解；
（2）同（1）先用x表示出不同側面的長，然后根據矩形的面積將4個側面的面積相加，得出關于側面積和正方形邊長的函數式，然后根據函數的性質和自變量的取值范圍來得出側面積的最大值．

解答：解：（1）設正方形的邊長為xcm．
則（10-2x）（8-2x）=48，
即x²-9x+8=0，
解得x₁=8（不合題意，舍去），x₂=1．
答：剪去的正方形的邊長為1cm．

（2）有側面積最大的情況．
設正方形的邊長為xcm，盒子的側面積為ycm²，
則y與x的函數關系式為：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x，
即y=-8x²+36x．（0＜x＜4）
改寫為y=-8（x-

9

4

）²+

81

2

，
∴當x=2.25時，y最大=40.5．
即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側面積最大為40.5cm²．

點評：此題主要考查了矩形的面積的求法，二次函數的應用等知識點，根據面積的計算方法正確的表示出二次函數是解題的關鍵．