Question

【題目】如圖，等腰 ， ， ， 于點 ，點 是 延長線上一點，點 是線段 上一點， ，

下面結論：
① ；
② 是等邊三角形；
③ ；
④ ．
其中正確的是（ ）．
A.②③
B.①②④
C.③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴OB=OC， BD=CD，∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°，∴∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正確；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等邊三角形；故②正確；在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中， ，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正確；
過點C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，∴CH=CD，
∴S△ABC= AB·CH，S四邊形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝ AP·CH+ OA·CD
= AP·CH+ OA·CH= CH·（AP+OA）= CH=·AC，
∴S△ABC=S四邊形AOCP；
故④正確．所以①②③④都正確，故答案為：D．
連接OB，可證明①②正確，在AC上截取AE=PA，可證③正確，過點C作CH⊥AB于H，可證④正確。