Question

（2013•澄江縣二模）如圖，已知：直線m分別與x軸、y軸相交于A、B兩點，拋物線y=ax²+bx+c經過A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點．
（1）求直線m的解析式；
（2）求拋物線的解析式及對稱軸；
（3）已知D（-1，0）在x軸上．問：在直線m上是否存在一點P使△ABO與△ADP相似？若存在請求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A與B坐標代入y=kx+b中，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出直線m的解析式；
（2）將A，B及C坐標代入y=ax²+bx+c中，得到關于a，b及c的方程組，求出方程組的解得到a，b及c的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；
（3）存在，如圖所示，分兩種情況考慮：（i）若△ABO∽△AP₁D，利用相似得比例，求出DP₁的長，確定出P₁的坐標；（ii）若△ABO∽△ADP₂，過點P₂作P₂M⊥x軸于M，得出△ADP₂是等腰三角形，利用三線合一得到DM=AM=2=P₂M，此時M與C重合，求出此時P₂的坐標．

解答：解：（1）把A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b，得

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-2 b=3

，
∴直線m解析式為y=-x+3；

（2）把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入y=ax²+bx+c得方程組

9a+3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；對稱軸：直線x=2；

（3）存在，由題意可知：△ABO為等腰直角三角形（如圖），

分兩種情況考慮：
（i）若△ABO∽△AP₁D，則

AO

AD

=

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
（ii）若△ABO∽△ADP₂，過點P₂作P₂M⊥x軸于M，AD=4，
∵△ABO為等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，由三線合一可得：DM=AM=2=P₂M，即點M與點C重合，
∴P₂（1，2）．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，相似三角形的性質，以及待定系數法求函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題第一問的關鍵．