Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，點D是射線BC上一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．

（1）若∠BAC＝90°．

①如圖1，當點D在線段BC上時，∠BCE＝　 　°；

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結論是否仍然成立？請說明理由；

（2）若∠BAC＝75°，點D在射線BC上，∠BCE＝　 　°；

（3）若點D在直線BC上移動，其他條件不變．設∠BAC＝α，∠BCE＝β，α與β有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）①90°；②結論仍然成立，理由見解析；（2）105；（3）點D在直線BC上移動，α+β＝180°或α＝β，理由見解析

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數；
②由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數；
（2）分兩種情況討論，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內角和即可得出結論；
（3）分三種情況討論，由“SAS”可證△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內角和即可得出結論．

（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

故答案為：90°；

②結論仍然成立，

理由如下：

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴∠ABC＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

（2）如圖③，點D在線段BC上時，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，

即：∠BCE＝180°﹣∠BAC＝105°，

如圖④，若點D在BC的延長線上時，連接CE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，

即：∠BCE＝180°﹣∠BAC＝105°，

綜上所述：點D在射線BC上，∠BCE＝105°，

故答案為：105°；

（3）由（2）可知：若點D在線段BC上或點D在BC的延長線上時，∠BAC+∠BCE＝180°，

∴α+β＝180°，

如圖⑤，當點D在CB的延長線時，連接BE，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，

∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，

∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，

∴∠BAC＝∠BCE．

∴α＝β；

綜上所述：點D在直線BC上移動，α+β＝180°或α＝β．