Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F，BD=4，CD=3．下列結論①∠AED=∠ADC；②；③ACBE=12；④3BF=4AC，其中結論正確的個數有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

【答案】C．

【解析】

試題分析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，

∵∠EAD=∠DAC，

∴∠AED=∠ADC．

故本選項正確；

②∵AD平分∠BAC，

∴，

∴設AB=4x，則AC=3x，

在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，則（3x）2+49=（4x）2，

解得：x=，

∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，

∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：，故不正確；

③由①知∠AED=∠ADC，

∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，

∴△BED∽△BDA，

∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，

∴BE：BD=DC：AC，

∴ACBE=BDDC=12．

故本選項正確；

④連接DM，

在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，

則DM=MA．

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，

∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，

∴3BF=4AC．

故本選項正確．

綜上所述，①③④正確，共有3個．

故選C．