Question

如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F，∠1與∠2互補．
（1）試判斷直線AB與直線CD的位置關系，并說明理由；
（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，EP與CD交于點G，點H是MN上一點，且GH⊥EG，求證：PF∥GH；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，問∠HPQ的大小是否發生變化？若不變，請求出其值；若變化，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用對頂角相等、等量代換可以推知同旁內角∠AEF、∠CFE互補，所以易證AB∥CD；
（2）利用（1）中平行線的性質推知°；然后根據角平分線的性質、三角形內角和定理證得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故結合已知條件GH⊥EG，易證PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形內角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由鄰補角的定義、角平分線的定義推知∠QPK=

1

2

∠EPK=45°+∠2；最后根據圖形中的角與角間的和差關系求得∠HPQ的大小不變，是定值45°．

解答：解：（1）如圖1，∵∠1與∠2互補，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；

（2）如圖2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，
∴∠FEP+∠EFP=

1

2

（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；

（3）∠HPQ的大小不發生變化，理由如下：
如圖3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK=

1

2

∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不發生變化，一直是45°．

點評：本題考查了平行線的判定與性質．解題過程中，注意“數形結合”數學思想的運用．