Question

21、如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點，連接DE并延長，交AB的延長線于點F，AB=BF，∠F=∠CDE．
（1）求證：AB=CD；
（2）連接AE，若AE=DE，求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析：（1）根據E是BC的中點，得出BE=CE，再利用∠F=∠CDE，∠BEF=∠CED，得出△BEF≌△CED即可得出答案；
（2）首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，利用等腰三角形的性質得出∠ABF=90°．

解答：（1）證明：∵E是BC的中點，
∴BE=CE．
∵∠F=∠CDE，∠BEF=∠CED，
∴△BEF≌△CED．（1分）
∴BF=CD．（2分）
∵AB=BF，
∴AB=CD．（3分）

（2）證明：∵∠F=∠CDE，
∴AB∥CD．
由（1）知AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．（4分）
由△BEF≌△CED，得EF=DE．
∵AE=DE，
∴AE=EF．
∵AB=BF，
∴EB⊥AF．（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）
∴∠ABF=90°．（6分）
∴□ABCD是矩形．（7分）

點評：此題主要考查了三角形的全等的證明以及平行四邊形的性質和矩形的證明方法，此題綜合性較強注意知識之間的聯系．