Question

【題目】直角三角形中，，直線過點．

（1）當時，如圖①，分別過點、作于點，于點．求證：．

（2）當，時，如圖②，點與點關于直線對稱，連接、，動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿邊向終點運動，同時動點從點出發，以每秒3個單位的速度沿向終點運動，點、到達相應的終點時停止運動，過點作于點，過點作于點，設運動時間為秒．

①用含的代數式表示．

②直接寫出當與全等時的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①CN=6-3t；（2）3.5秒或5秒或6.5秒

【解析】

（1）根據垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE；

（2）①由題意得，AM=t，FN=3t，則CM=8-t，由折疊的性質可知，CF=CB=6，即可得出結果；

②分點F沿F→C路徑運動，點F沿C→B路徑運動，點F沿B→C路徑運動，點F沿C→F路徑運動四種情況，根據全等三角形的判定定理列式計算．

（1）證明：△ACD與△CBE全等．

理由如下：∵AD⊥直線l，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）解：①由題意得，AM=t，FN=3t，

則CM=8-t，

由折疊的性質可知，CF=CB=6，

∴CN=6-3t；

②由折疊的性質可知，∠BCE=∠FCE，

∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，

∴∠NCE=∠CMD，

∴當CM=CN時，△MDC與△CEN全等，

當點F沿F→C路徑運動時，8-t=6-3t，

解得，t=-1（不合題意），

當點F沿C→B路徑運動時，8-t═3t-6，

解得，t=3.5，

當點F沿B→C路徑運動時，由題意得，8-t=18-3t，

解得，t=5，

當點F沿C→F路徑運動時，由題意得，8-t=3t-18，

解得，t=6.5，

綜上所述，當t=3.5秒或5秒或6.5秒時，△MDC與△CEN全等．