Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于點O，點F是線段AO上的點(與A，O不重合)，∠EAF=90°，AE=AF，連接FE，FC，BE，BF.

(1)求證：BE=BF；

(2)如圖②，若將△AEF繞點A旋轉，使邊AF在∠BAC的內部，延長CF交AB于點G，交BE于點K.求證：△AGC∽△KGB.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）通過證明△EAB≌△FAB，即可得到BE=BF；

（2）首先證明△AEB≌△AFC，由相似三角形的性質可得：∠EBA=∠FCA，進而可證明△AGC∽△KGB．

試題解析：（1）證明：∵AB=AC，AO⊥BC，∴∠OAC=∠OAB=45°，∴∠EAB=∠EAF﹣∠BAF=45°，∴∠EAB=∠BAF，在△EAB和△FAB中，∵AE=AF，∠FAB=∠BAF，AB=AB，∴△EAB≌△FAB（SAS），∴BE=BF；

（2）證明：∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，在△AEB和△AFC中，∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC（SAS），∴∠EBA=∠FCA，又∵∠KGB=∠AGC，∴△AGC∽△KGB．