Question

【題目】如圖，點C在以AB為半徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D

關AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線與點F．下列結論：①CE＝CF；②線段EF的最小值為2

③當AD＝2時，EF與半圓相切；④當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是16．其中正

確的結論（）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）由點E與點D關于AC對稱可得CE=CD，再根據DF⊥DE即可證到CE=CF．
（2）根據“點到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD=OD，根據等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進而可求出∠ECO=90°，從而得到EF與半圓相切．
（4）利用相似三角形的判定與性質可證到△DBF是等邊三角形，只需求出BF就可求出DB，進而求出AD長．
（5）首先根據對稱性確定線段EF掃過的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關系，就可求出線段EF掃過的面積．

接CD，如圖1所示．

∵點E與點D關于AC對稱，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴結論“CE=CF”正確．

②當CD⊥AB時，如圖2所示．

∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=BC=2．
根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：
點D在線段AB上運動時，CD的最小值為2．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴線段EF的最小值為4．
∴結論“線段EF的最小值為2”錯誤．

③當AD=2時，連接OC，如圖3所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2．
∴AD=DO．
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵點E與點D關于AC對稱，
∴∠ECA=∠DCA．
∴∠ECA=30°．
∴∠ECO=90°．
∴OC⊥EF．
∵EF經過半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切．
∴結論“EF與半圓相切”正確．

④當點F恰好落在

上時，連接FB、AF，如圖4所示

∵點E與點D關于AC對稱，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD=90°．
∴∠AGD=∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴ ．
∵FC=EF，
∴FH=FD．
∴FH=DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°．
∴BF=BD．
∴∠FBH=∠DBH=30°．
∴∠FBD=60°．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠AFB=90°．
∴∠FAB=30°．
∴FB=AB=4．
∴DB=4．
∴AD=AB-DB=4．
∴結論“AD=2 ”錯誤．

⑤如圖所示：

∵點D與點E關于AC對稱，
點D與點F關于BC對稱，
∴當點D從點A運動到點B時，
點E的運動路徑AM與AB關于AC對稱，
點F的運動路徑NB與AB關于BC對稱．
∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分．
∴S陰影=2S△ABC
=2×ACBC
=ACBC
=4×4
=16．
∴EF掃過的面積為16．
∴結論“EF掃過的面積為16”正確．

所以①、③、⑤正確，共計3個.

故選：C.