Question

已知x、y均為實數，且滿足xy+x+y=17，x²y+xy²=66，求：代數式x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴的值．

Answer 1

分析：由已知條件xy+（x+y）=17，x²y+xy²=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的兩個實數根，可得出xy=11，x+y=6時，x、y是方程v²-6v+11=0的兩個根或xy=6，x+y=11時，x、y是方程u²-11u+6=0的兩個根，根據根的判別式△=b²-4ac，判斷兩個方程有無實數根，有實數根時可以整理出x²+y²=（x+y）²-2xy，把原代數式化簡為含x²+y²的形式，代入求值即可．

解答：解：由已知條件可知xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的兩個實數根，由t₁=6，t₂=11
得

xy=6 x+y=11

或

xy=11 x+y=6

當xy=11，x+y=6時，x、y是方程v²-6v+11=0的兩個根
∵△₁=36-44＜0
∴此方程沒有實數根
當xy=6，x+y=11時，x、y是方程u²-11u+6=0的兩個根
∵△₂=121-24＞0
∴此方程有實數根，這時x²+y²=（x+y）²-2xy=109
∴x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴=x⁴+y⁴+x²y²+xy（x²+y²）=（x²+y²）²-x²y²+xy（x²+y²）=12499．

點評：此題綜合性比較強，主要考查：
①一元二次方程根的判別式的有關內容．根的判別式△=b²-4ac＞0?方程有兩個不相等的實數根；△=0?方程有兩個相等的實數根；△＜0?方程沒有實數根．
②一元二次方程根與系數的關系：如果一個一元二次方程的兩根是x₁、x₂，那么這個一元二次方程為x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=0．