Question

【題目】如果一個四邊形的對角線把四邊形分成兩個三角形，一個是等邊三角形，另一個是該對角線所對的角為的三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的理想對角線，這個四邊形稱為理想四邊形．

（1）如圖①，在中，，，，為上一點，，為中點，連接，求證：四邊形為理想四邊形；

（2）如圖②，是等邊三角形，若為理想對角線，四邊形為理想四邊形．請畫圖找出符合條件的C點落在怎樣的圖形上；(在圖中標出必要的數據)

（3）在（2）的條件下，

①若為直角三角形，，求的長度；

②如圖③，若，，，請直接寫出、、之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）①或； ②

【解析】

（1）連接CD，過點E作EM⊥AB，易證EM是BD的中垂線，得∠EDB=∠B=30°，從而得∠CED=60°，進而得是等邊三角形，即可得到結論；

（2）作等腰三角形ODB，使得OD＝OB，∠DOB＝120°，以O為圓心，OD為半徑作⊙O，當點C在弧BCD上時，滿足條件；

（3）①若為直角三角形，分兩種情況討論：（i）當∠BDC=90°時；（ii）當∠DBC=90°時，分別求出答案即可；②將繞點D逆時針旋轉60°，得到，連接EC，過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于點F，可得是等邊三角形，用含x，y的代數式表示EF，CF，進而得到BF的表達式，利用勾股定理，即可得到結論．

（1）連接CD，過點E作EM⊥AB，如圖①，

∵在中，，，，，

∴AB=4，BC=，BD=4-1=3，

∵為中點，

∴BE=，

∵在中，∠B=30°，EM⊥AB，

∴BM=BEcos30°=，

∴DM=BM=，即EM是BD的中垂線，

∴ED=EB=EC，

∴∠EDB=∠B=30°，

∴∠CED=60°，

∴是等邊三角形，

又∵∠A=180°-∠B-∠ACB=60°，

∴四邊形為理想四邊形；

（2）如圖②中，作等腰三角形ODB，使得OD＝OB，∠DOB＝120°，以O為圓心，OD為半徑作⊙O，當點C在弧BCD上時，∠DCB＝∠DOB＝60°，滿足條件；

（3）①若為直角三角形，分兩種情況討論：

（i）當∠BDC=90°時，如圖③-1，

∵∠BCD=60°，BC=2，

∴∠DBC=30°，BD=BCcos30°=，

∵是等邊三角形，

∴AB=BD=，∠ABD=60°，

∴∠ABC=90°，

∴；

（ii）當∠DBC=90°時，如圖③-2，

同理可得：∠ADC=90°，DC=4，AD=，

∴．

綜上所述：AC=或；

②將繞點D逆時針旋轉60°，得到，連接EC，過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于點F，如圖④，

∴∠CDE=60°，ED=CD，BE=AC=z，

∴是等邊三角形，

∴EC=CD=x，∠DCE=60°，

∵∠BCD=60°，

∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，

∴EF=ECsin60°=，CF= ECcos60°=，

∴BF=BC+CF=y+，

∴BE==，

∴z=，即：．