Question

如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）∠OCD的平分線CE交⊙O于E，連接OE．求證：E為

ADB

的中點；
（2）如果⊙O的半徑為1，CD=

3

．
①求O到弦AC的距離；
②填空：此時圓周上存在

 

個點到直線AC的距離為

1

2

．

Answer 1

分析：（1）要求證：E為

ADB

的中點，即要證明CD⊥AB，根據垂徑定理就可以；
（2）根據垂徑定理，CH=

1

2

CD=

3

2

，在直角△OCH中，根據勾股定理就可以求出求O到弦AC的距離OH的長度．

解答：（1）證明：∵OC=OE
∴∠E=∠OCE（1分）
又∠OCE=∠DCE
∴∠E=∠DCE
∴OE∥CD（2分）
又OE⊥AB
∴∠AOE=∠BOE=90°
∴E為

ADB

的中點；（3分）

（2）解：①∵CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，CD=

3

∴CH=

1

2

CD=

3

2

（4分）
又OC=1
∴sin∠COB=

CH

OC

=

3 2

1

=

3

2

∴∠COB=60°（5分）
∴∠BAC=30°
作OP⊥AC于P，則OP=

1

2

OA=

1

2

；（6分）
②OP=

1

2

，則MP=

1

2

，即M到AC的距離是

1

2

，在

AC

上其它點到AC的距離一定小于

1

2

；
在

ADB

上一定有2個點到AC的距離等于

1

2

．
故圓上有3點到AC的距離是

1

2

．
故答案是：3．（7分）

點評：本題主要考查了垂徑定理，可以把求弦長，弦心距的問題轉化為解直角三角形的問題．