Question

（2011•紹興縣模擬）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是線段AD上的任意一點（不含端點A、D），連接PC，過點P作PE⊥PC交AB于E，則BE的取值范圍是（　　）

• A．0＜BE＜4
• B．

  7

  4

  ≤BE＜4
• C．2≤BE＜4
• D．0＜BE≤

  7

  4

Answer 1

分析：由于BE的最大值為AB的長即2，因此只需求得BE的最小值即可；設AP=x，AE=y，根據△AEP∽△DPC可得AP•PD=AE•CD，用x、y表示出其中的線段，即可得到關于x、y的函數關系式，根據函數的性質即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范圍．

解答：解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；
設DP=x，BE=y，則AE=4-y，AP=6-x，
∵△AEP∽△DPC，
∴

CD

PA

=

PD

EA

，代入整理可得：y=

1

4

x²-

3

2

x+4=

1

4

（x-3）²+

7

4

，
故BE的最小值為

7

4

，又因為BE的最大值為4，
∴BE的范圍為

7

4

≤BE＜4．
故選B．

點評：此題主要考查的是矩形的性質、相似三角形的判定和性質以及二次函數最值的應用，關鍵是證明△AEP∽△DPC，這一點不容易想到，難度較大，另外要求我們熟練掌握二次函數的最值的求解辦法．