Question

【題目】如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“勻稱三角形”，這條中線為“勻稱中線”．

（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“勻稱三角形”．

①請判斷“勻稱中線”是哪條邊上的中線，

②求BC：AC：AB的值．

（2）如圖②，△ABC是⊙O的內接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，將△ABC繞點A逆時針旋轉45°得到△ADE，點B的對應點為D，AD與⊙O交于點M，若△ACD是“勻稱三角形”，求CD的長，并判斷CM是否為△ACD的“勻稱中線”．

Answer 1

【答案】（1）① “勻稱中線”是BE，它是AC邊上的中線，②BC：AC：AB＝；（2）CD＝a，CM不是△ACD的“勻稱中線”．理由見解析.

【解析】

（1）①先作出Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，然后利用勻稱中線的定義分別驗證即可得出答案；

②設AC＝2a，利用勾股定理分別把BC,AB的長度求出來即可得出答案.

（2）由②知：AC：AD：CD＝，設AC＝，則AD＝2a，CD＝，過點C作CH⊥AB，垂足為H，利用的面積建立一個關于a的方程，解方程即可求出CD的長度；假設CM是△ACD的“勻稱中線”，看能否與已知的定理和推論相矛盾，如果能，則說明假設不成立，如果不能推出矛盾，說明假設成立.

（1）①如圖①，作Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，

∵∠ACB＝90°，

∴CF＝，即CF不是“勻稱中線”．

又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“勻稱中線”．

∴“勻稱中線”是BE，它是AC邊上的中線，

②設AC＝2a，則CE＝a，BE＝2a，

在Rt△BCE中∠BCE＝90°，

∴BC＝，

在Rt△ABC中，AB＝，

∴BC：AC：AB＝

（2）由旋轉可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，

∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，

∵Rt△ACD是“勻稱三角形”．

由②知：AC：AD：CD＝

設AC＝，則AD＝2a，CD＝，

如圖②，過點C作CH⊥AB，垂足為H，則∠AHC＝90°，

∵∠BAC＝45°，

∴

∵

解得a＝2，a＝﹣2（舍去），

∴

判斷：CM不是△ACD的“勻稱中線”．

理由：假設CM是△ACD的“勻稱中線”．

則CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，

∴

又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝ ，BH＝4-，

∴

即

這與∠AMC＝∠B相矛盾，

∴假設不成立，

∴CM不是△ACD的“勻稱中線”．