Question

【題目】正方形ABCD中，點M是直線BC上的一個動點（不與點B，C重合），作射線DM，過點B作BN⊥DM于點N，連接CN．

（1）如圖1，當點M在BC上時，如果∠CDM=25°，那么∠MBN的度數是 ．

（2）如圖2，當點M在BC的延長線上時，

①依題意補全圖2；

②用等式表示線段NB，NC和ND之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②，見解析.

【解析】

（1）由正方形的性質和對頂角相等、三角形內角和定理得出∠MBN=∠CDM=25°即可；

（2）①由題意補全圖形即可；

②當N在DM上時，在NB上截取BE=ND，證明△CDN≌△CBE得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，證出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，得出NE=NC，即可得出結論；

當N在MD延長線上時，延長NB至E，使BE=ND，同理得：△CDN≌△CBE，得出NC=EC，∠DCN=∠BCE，證出∠NCE=∠BCD=90°，得出△NCE是等腰直角三角形，證出NE=NC，即可得出結論．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠DCM=∠BCD=90°，

∵BN⊥DM，

∴∠DNB=90°=∠BCD，

∵∠BMN=∠DMC，

∴∠MBN=∠CDM=25°；

故答案為：25°；

（2）①由題意補全圖形如圖2、圖4所示；

②線段NB，NC和ND之間的數量關系為：NB=ND+NC，或NC=NB+ND．

理由如下：

當N在DM上時，在NB上截取BE=ND，

∵∠MCD=∠BNM=90°，

∴∠DMC+∠CDN=∠DMC+∠CBE=90°，

∴∠CDN=∠CBE，

在△CDN和△CBE中，

，

∴△CDN≌△CBE（SAS），

∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，

∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，

∴△NCE是等腰直角三角形，

∴NE=NC，

∴NB=BE+NE=ND+NC；

當N在MD延長線上時，延長NB至E，使BE=ND，

同理得：△CDN≌△CBE，

∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，

∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，

∴△NCE是等腰直角三角形，

∴NE=NC，

∵NE=NB+BE，

∴NC=NB+ND．