Question

已知：如圖，△ABC中，AB=BC=CA=6，BC在x軸上，BC邊上的高線AO在y軸上，直線△APC點轉動（與線段BC沒有交點）．設與AB、l、x軸相切的⊙O₁的半徑為r₁，與AC、l、x軸相切的⊙O₂的半徑為r₂
（1）當直線l繞點A轉到任何位置時，⊙O₁、⊙O₂的面積之和最小，為什么？
（2）若r1-r2=

3

，求圖象經過點O₁、O₂的一次函數解析式．

Answer 1

分析：（1）設切點分別為M、N、D、G．由切線長定理得MN+DG=AB+BC+AC=18，DB+CG=3．連接O₁D、O₁B，可求得DB=

3

3

r1．同理CG=

3

3

r2，則r1+r2=3

3

．⊙O₁、⊙O₂的面積之和S=πr12+π(3

3

-r1)2=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]．當r1=r2=

3 3

2

，即l∥x軸時，S最小；
（2）由（1）得r1+r2=3

3

，結合r1-r2=

3

，∠BDH=∠ADC=90°可知O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)．設圖象經過點O₁、O₂的一次函數解析式為y=kx+b，利用待定系數法可解得直線O₁、O₂的解析式y=-

3

9

x+

13 3

9

．

解答：解：（1）當l∥x軸時，⊙O₁、⊙O₂的面積之和最小．      
如圖，設切點分別為M、N、D、G．
由切線長定理得MN+DG=AB+BC+AC=18．
∵MN=DG，
∴DG=9，
∴DB+CG=3．
連接O₁D、O₁B，
∴O₁D⊥BD，∠DBO₁=60°，
∴DB=

3

3

r1．
同理CG=

3

3

r2．
∴r1+r2=3

3

．                     
∵⊙O₁、⊙O₂的面積之和S=πr12+π(3

3

-r1)2
=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]
∴當r1=r2=

3 3

2

，即l∥x軸時，S最小．

（2）由（1）得r1+r2=3

3

，
∵r1-r2=

3

，∠BDH=∠ADC=90°，
∴O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)．             
設圖象經過點O₁、O₂的一次函數解析式為y=kx+b，
則

-5k+b=2 3 4k+b= 3

，
解得

k=- 3 9 b= 13 3 9

∴直線O₁、O₂的解析式為y=-

3

9

x+

13 3

9

．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和圓中的有關性質來表示相應的線段之間的關系，利用切線長和半徑的特點找到相等關系利用方程組求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．