Question

【題目】點A，B的坐標分別為（-2,3）和（1,3），拋物線y=ax2+bx+c（a<0）的頂點在線段AB上運動時，形狀保持不變，且與x軸交于C，D兩點（C在D的左側），給出下列結論：①c<3；②當x<-3時，y隨x的增大而增大；③若點D的橫坐標最大值為5，則點C的橫坐標最小值為-5；④當四邊形ACDB為平行四邊形時，a= .其中正確的是（ ）
A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵點A，B的坐標分別為（-2，3）和（1，3），
∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，3），
又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），
∴c≤3，（頂點在y軸上時取“=”），故①錯誤；
∵拋物線的頂點在線段AB上運動，
∴當x＜-2時，y隨x的增大而增大，
因此，當x＜-3時，y隨x的增大而增大，故②正確；
若點D的橫坐標最大值為5，則此時對稱軸為直線x=1，
根據二次函數的對稱性，點C的橫坐標最小值為-2-4=-6，故③錯誤；
令y=0，則ax2+bx+c=0，
CD2=（- ）2-4× = ，
根據頂點坐標公式， ，
∴ ，
∴CD2= ×（-12）= ，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴ =32=9，
解得a= ，故④正確；
綜上所述，正確的結論有②④．
故選：A．

【考點精析】利用二次函數的性質和平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．