Question

已知直線ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不為零的自然數）．當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點A₁和B₁，設△A₁OB₁（其中O是平面直角坐標系的原點）的面積為S₁；當n=2時，直線l2：y=-

3

2

x+

1

2

與x軸和y軸分別交于點A₂和B₂，設△A₂OB₂的面積為S₂，…，
依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點A_n和B_n，設△A_nOB_n的面積為S_n．
（1）求設△A₁OB₁的面積S₁；
（2）求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值．

Answer 1

分析：（1）因為當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點A₁和B₁，所以分別令y=0，x=0，即可求出A₁和B₁的坐標，從而求出△A₁OB₁的面積S₁；
（2）要求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值，需要找出S_n的規律，因為n=2時，y₂=-

3

2

x+

1

2

，所以分別令y=0，x=0即可求出A₂（

1

3

，0），同理可求出A₂，A₃…所以推出當n=n時，y_n=-

n+1

n

x+

1

n

，分別令y=0，x=0，即可求出A_n（

1

n+1

，0），B_n（0，

1

n

），所以S_n=

1

2

×

1

n+1

×

1

n

，整理即可求出答案．

解答：解：（1）∵y₁=-2x+1，
∴A₁（

1

2

，0），B₁（0，1），
∴S₁=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

；

（2）∵y₂=-

3

2

x+

1

2

，
∴A₂（

1

3

，0），B₂（0，

1

2

）
故S₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

，
∵y₃=-

4

3

x+

1

3

，
∴A₃（

1

4

，0），B₃（0，

1

3

），
故S₃=

1

2

×

1

4

×

1

3

，
…
∵y_n=-

n+1

n

x+

1

n

，
∴A_n（

1

n+1

，0），B_n（0，

1

n

），
故S_n=

1

2

×

1

n+1

×

1

n

，
∵

1

n

×

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₁+S₂+…+S₆=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

6×7

）
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

6

-

1

7

）]=

1

2

（1-

1

7

）=

3

7

．

點評：本題是一道推理性極強的題目，主要考查一次函數的基本的性質及特殊點的坐標，解題的關鍵是尋找規律．