Question

（2012•黔南州）已知：如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D在AB的延長線上，∠BCD=∠A．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）過點C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=

4

5

，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）先連接CO，根據AB是⊙O直徑，得出∠1+∠OCB=90°，再根據AO=CO，得出∠1=∠A，最后根據∠4=∠A，證出OC⊥CD，即可得出CD為⊙O的切線；
（2）根據OC⊥CD，得出∠3+∠D=90°，再根據CE⊥AB，得出∠3+∠2=90°，從而得出cos∠2=cosD，再在△OCD中根據余弦定理得出CO的值，最后根據⊙O的半徑為

5

2

，即可得出AD的長．

解答：證明：（1）連接CO，
∵AB是⊙O直徑
∴∠1+∠OCB=90°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠4=∠A，
∴∠4+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°．
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半徑，
∴CD為⊙O的切線．

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD，
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=

CE

CO

∵cosD=

4

5

，CE=2，
∴

2

CO

=

4

5

，
∴CO=

5

2

，
∴⊙O的半徑為

5

2

．
∴OD=

OC

tanD

=

25

6

，
AD=

20

3

．

點評：本題考查了切線的判定與性質，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可，同時考查了三角函數的知識．