Question

【題目】如圖，已知直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于E和F．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）當BE經過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；
（3）連接EF，設△BEF與△BFC的面積之差為S，問：當CF為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），

設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

則 ，

解得 ；

∴拋物線的解析式為y=﹣ + x+2

（2）

解：設拋物線的頂點為G，

則G（1， ），過點G作GH⊥AB，垂足為H，

則AH=BH=1，GH= ﹣2= ；

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH；

∴GH是△BEA的中位線，

∴EA=2GH= ；

過點B作BM⊥OC，垂足為M，則BM=OA=AB；

∵∠EBF=∠ABM=90°，

∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF，

∴Rt△EBA≌Rt△FBM，

∴FM=EA= ；

∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1，

∴CF=FM+CM=

（3）

解：設CF=a，則FM=a﹣1，

∴BF2=FM2+BM2=（a﹣1）2+22=a2﹣2a+5，

∵△EBA≌△FBM，

∴BE=BF，

則S△BEF= BEBF= （a2﹣2a+5），

又∵S△BFC= FCBM= ×a×2=a，

∴S= （a2﹣2a+5）﹣a= a2﹣2a+ ，

即S= （a﹣2）2+ ；

∴當a=2（在0＜a＜3范圍內）時，S最小值= ．

【解析】（1）根據OA、AB、OC的長，即可得到A、B、C三點的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）此題要通過構造全等三角形求解；過B作BM⊥x軸于M，由于∠EBF是由∠DBC旋轉而得，所以這兩角都是直角，那么∠EBF=∠ABM=90°，根據同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM；易知BM=OA=AB=2，由此可證得△FBM≌△EBA，則AE=FM；CM的長易求得，關鍵是FM即AE的長；設拋物線的頂點為G，由于G點在線段AB的垂直平分線上，若過G作GH⊥AB，則GH是△ABE的中位線，G點的坐標易求得，即可得到GH的長，從而可求出AE的長，即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的長；（3）由（2）的全等三角形易證得BE=BF，則△BEF是等腰直角三角形，其面積為BF平方的一半；△BFC中，以CF為底，BM為高即可求出△BFC的面積；可設CF的長為a，進而表示出FM的長，由勾股定理即可求得BF的平方，根據上得出的兩個三角形的面積計算方法，即可得到關于S、a的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最小值及對應的CF的長．