Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），△AOB為等邊三角形，P是x軸上一個動點（不與原O重合），以線段AP為一邊在其右側作等邊三角形△APQ．
（1）求點B的坐標；
（2）在點P的運動過程中，∠ABQ的大小是否發生改變？如不改變，求出其大小；如改變，請說明理由．
（3）連接OQ，當OQ∥AB時，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過點B作BC⊥x軸于點C，

∵△AOB為等邊三角形，且OA=2，

∴∠AOB=60°，OB=OA=2，

∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，

∴BC= OB=1，OC= ，

∴點B的坐標為B（ ，1）

（2）解：∠ABQ=90°，始終不變．理由如下：

∵△APQ、△AOB均為等邊三角形，

∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO與△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°

（3）解：當點P在x軸負半軸上時，點Q在點B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．

又OB=OA=2，可求得BQ= ，

由（2）可知，△APO≌△AQB，

∴OP=BQ= ，

∴此時P的坐標為（﹣ ，0）．

【解析】（1）如圖，作輔助線；證明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的邊角關系即可解決問題；（2）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解決問題；（3）根據點P在x的正半軸還是負半軸兩種情況討論，再根據全等三角形的性質即可得出結果．