Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸于點A(0，4)，交x軸于點B(4，0)，點P是拋物線上一動點，試過點P作x軸的垂線1，再過點A作1的垂線，垂足為Q，連接AP．

(1)求拋物線的函數表達式和點C的坐標；

(2)若△AQP∽△AOC，求點P的橫坐標；

(3)如圖2，當點P位于拋物線的對稱軸的右側時，若將△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點Q′，請直接寫出當點Q′落在坐標軸上時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；(2)P的橫坐標為或.(3)點P的坐標為(4，0)或(5，﹣6)或(2，6).

【解析】

(1)利用待定系數法求拋物線解析式，然后利用拋物線解析式得到一元二次方程，通過解一元二次方程得到C點坐標；

(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ＝4PQ，設P(m，﹣m2+3m+4)，所以m＝4|4﹣(﹣m2+3m+4|，然后解方程4(m2﹣3m)＝m和方程4(m2﹣3m)＝﹣m得P點坐標；

(3)設P(m，﹣m2+3m+4)(m＞)，當點Q′落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖2，則PQ＝m2﹣3m，證明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B＝4m﹣12，則OQ′＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m)2＝m2，然后解方程求出m得到此時P點坐標；當點Q′落在y軸上，易得點A、Q′、P、Q所組成的四邊形為正方形，利用PQ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程m2﹣3m＝m和方程m2﹣3m＝﹣m得此時P點坐標．

解：(1)把A(0，4)，B(4，0)分別代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4，

當y＝0時，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴C(﹣1，0)；

故答案為y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；

(2)∵△AQP∽△AOC，

∴，

∴，即AQ＝4PQ，

設P(m，﹣m2+3m+4)，

∴m＝4|4﹣(﹣m2+3m+4|，即4|m2﹣3m|＝m，

解方程4(m2﹣3m)＝m得m1＝0(舍去)，m2＝，此時P點橫坐標為；

解方程4(m2﹣3m)＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝，此時P點坐標為；

綜上所述，點P的坐標為(，)或(，)；

(3)設，

當點Q′落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖2，

則PQ＝4﹣(﹣m2+3m+4)＝m2﹣3m，

∵△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點Q'，

∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m，

∵∠AQ′O＝∠Q′PH，

∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，

∴，即，解得Q′H＝4m﹣12，

∴OQ′＝m﹣(4m﹣12)＝12﹣3m，

在Rt△AOQ′中，42+(12﹣3m)2＝m2，

整理得m2﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此時P點坐標為(4，0)或(5，﹣6)；

當點Q′落在y軸上，則點A、Q′、P、Q所組成的四邊形為正方形，

∴PQ＝AQ′，

即|m2﹣3m|＝m，

解方程m2﹣3m＝m得m1＝0(舍去)，m2＝4，此時P點坐標為(4，0)；

解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0(舍去)，m2＝2，此時P點坐標為(2，6)，

綜上所述，點P的坐標為(4，0)或(5，﹣6)或(2，6)