Question

【題目】如圖（1），OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°， AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；

（2）如圖（3），在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，在（1）中所得結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）在AC上截取AG=AE，連接FG．先證明△EAF≌△GAF，再證明△FDC≌△FGC，即可得結論；（2）根據（1）的方法證明即可．

試題解析：

作對稱全等三角形如圖1．

（1）FE=FD．

如圖2，∵∠ACB=90°，∠B=60°．

∴∠BAC=30°．

∵AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，

∴∠EAF=∠CAF=∠BAC=15°，∠DCF=∠ACF=∠ACB=45°．

∴∠AEF=∠B+∠DCF=60°+45°=105°，

∴∠EFA=180°﹣∠AEF﹣∠EAF=60°．

如圖2，在AC上截取AG=AE，連接FG．

∵∠EAF=∠GAF，

又∵AF為公共邊，

∴△EAF≌△GAF，

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．

∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°．

又∵∠DFC=∠EFA=60°，

∴∠DFC=∠GFC．

由（1）知∠DCF=∠GCF，

又∵CF為公共邊，

∴△FDC≌△FGC，

∴FD=FG．

∴FE=FD．

（2）（1）中的結論FE=FD仍然成立．

同（2）可得△EAF≌△HAF，

∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．

又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B）=60°．

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°．

∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°．

同（2）可得△FDC≌△FHC，

∴FD=FH．

∴FE=FD．