Question

（1）求證：不論m為何值，關于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個不等的實數根．
（2）二次函數y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸有交點嗎？請說明理由．
（3）請你根據前兩問得到的啟示，利用二次函數y=2x²-4x+1的圖象，求出x取何值時y＞0．

Answer 1

解：（1）原方程可化為：2x²-4mx+m²-1=0，
∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴關于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個不等的實數根；

（2）∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴二次函數y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸總有兩個不同的交點；

（3）∵二次函數y=2x²-4x+1中，a=2＞0，
∴此函數的圖象開口向上，
∵x===1±，
∴二次函數y=2x²-4x+1的圖象與x軸的交點為（1+，0），（1-，0），
∴當x＞1+或x＜時y＞0．
分析：（1）先把關于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）化為一元二次方程的一般形式，再根據△＞0時方程由兩個不相等的實數根得到關于m的不等式，求出m的值即可；
（2）先求出△的表達式，再根據△的取值范圍即可作出判斷；
（3）先判斷出拋物線的開口方向，再求出拋物線與x軸的兩交點坐標，根據函數圖象在x軸上方時y＞0即可解答．
點評：本題考查的是二次函數的圖象與x軸的交點問題，能把二次函數的解與解一元二次方程結合起來是解答此題的關鍵．