Question

【題目】如圖，在菱形中，，點、分別是、上任意的點（不與端點重合），且，連接與相交于點，連接與相交于點．給出如下幾個結論：①；②；③與一定不垂直；④的大小為定值．其中正確的結論有________．

Answer 1

【答案】①④

【解析】

①先證明△ABD為等邊三角形，根據“SAS”證明△AED≌△DFB；
②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點B、C、D、G四點共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，易求后者的面積；
③過點F作FP∥AE于P點，根據題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；因為點E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重合），且AE=DF，當點E，F分別是AB，AD中點時，CG⊥BD；
④∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．

①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，
∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故本選項正確；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點B、C、D、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，
∴∠BGC=∠DGC=60°，
過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），
∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，
S四邊形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴

∴S四邊形CMGN=2S△CMG

故本選項錯誤；

③當點E，F分別是AB，AD中點時（如圖3），
由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，
∵點E，F分別是AB，AD中點，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC與△BGC中，

，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項錯誤；
④∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，
故本選項正確；
綜上所述，正確的結論有①④，
故答案為：①④．