Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx﹣c與x軸交A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求拋物線及直線AC的函數表達式；

（2）點M是線段AC上的點（不與A，C重合），過M作MF∥y軸交拋物線于F，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MF的長；

（3）在（2）的條件下，連接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；直線AC的解析式為y=﹣x﹣1；

（2）MF=（﹣m﹣1）﹣（ m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；

（3）當m=時，△AFC的面積最大為．

【解析】試題分析：（1）把點A和點B的坐標代入拋物線解析式求出b和c的值即可求出拋物線解析式；再把點C的橫坐標代入已求出的拋物線解析式可求出其縱坐標，進而可求出直線AC的表達式；

（2）已知點M的橫坐標為m，點M又在直線AB上，所以可求出其縱坐標，而點F在拋物線上，所以可求出其縱坐標，進而可用m的代數式表示MF的長；

（3）存在m，使△AFC的面積最大，設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，由S△AFC=MF（AH+CE），可得關于m的二次函數關系式，根據函數的性質即可求出△AFC的最大值．

試題解析：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）帶入y=x2+bx﹣c，

得，解得： ，

∴解析式為：y=x2﹣2x﹣3，

把x=2帶入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，

∴C（2，﹣3），

設直線AC的解析式為y=kx+m，把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）帶入，

得，解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣1；

（2）∵點M在直線AC上，

∴M的坐標為（m，﹣m﹣1）；

∵點F在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，

∴F點的坐標為（m，m2﹣2m﹣3），

∴MF=（﹣m﹣1）﹣（ m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；

（3）存在m，使△AFC的面積最大，理由如下：

設直線MF與x軸交于點H，作CE⊥MF于E，

S△AFC=MF（AH+CE）=MF（2+1）=MF，

=（﹣m2+m+2），

=﹣（m﹣）2+≤

∴當m=時，△AFC的面積最大為．