Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．
（1）如圖1，求證：AE=DF；
（2）如圖2，若AB=2，過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G，判斷△GEF的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，若AB=，過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G．
①直接寫出線段AE長度的取值范圍；
②判斷△GEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以證明△AEM≌△DFM，就可以得出結論．
（2）過點G作GH⊥AD于H，通過條件可以證明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，進而得出∠EGM=45°，再由（1）的結論可以得出∠EGF=90°，從而得出結論．
（3）①當點G、C重合時利用三角形相似就可以求出AE的值，從而求出AE的取值范圍．
②過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，證明△AEM∽△HMG，可以得出，從而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出結論．
解答：解：（1）如圖1，
證明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．
∵AM=DM，
∴△AEM≌△DFM．
∴AE=DF．
（2）答：△GEF是等腰直角三角形．
證明：過點G作GH⊥AD于H，如圖2，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四邊形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3 ）①當C、G重合時，如圖4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG=90°．
∴∠AME+∠DMC=90°，
∴∠AEM=∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴，
∴，
∴AE=
∴＜AE≤．
②△GEF是等邊三角形．
證明：過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，如圖3，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四邊形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
又∵∠A=∠GHM=90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴．在Rt△GME中，
∴tan∠MEG==．
∴∠MEG=60°．
由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴△GEF是等邊三角形．
點評：本題是一道相似形的綜合題，考查了全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，三角函數值的運用，等邊三角形的判定，等腰直角三角形的判定．在解答時添加輔助線構建全等形和相似形是關鍵．