Question

某種植基地對去年瓜果生產基地的甲、乙兩種瓜果的生產銷售進行了統計，發現去年1至12月每千克甲種瓜果的銷售價格y₁（元）與月份x（1≤x≤12，x為整數）之間存在如圖所示變化趨勢，每千克乙種瓜果銷售價格y₂（元）與月份x（1≤x≤12，x為整數）之間的函數關系如下表：

月份x	1	2	3	4	…
銷售價格y2（元）	7.75	7.5	7.25	7	…

（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y₂與x之間的函數關系式，根據如圖所示的變化趨勢，求出y₁與x之間滿足的一次函數關系式；
（2）若去年每千克甲種瓜果生產成本為2.5元，每千克乙種瓜果生產成本為2元，且去年1至12月甲種瓜果銷售量p₁（萬千克）與月份x滿足關系式p₁=0.2x+1（1≤x≤12，x為整數），去年1至12月乙種瓜果銷售量p₂（萬千克）與月份x滿足關系式p₂=0.4x+0.8（1≤x≤12，x為整數），求去年上半年哪一個月同時出售甲、乙兩種瓜果的總利潤最大？并求出其最大利潤；
（3）預計今年1至5月，受物價上漲因素的影響，該基地甲種瓜果生產成本每千克比去年增加20%，乙種瓜果的生產成本每千克比去年增加1元，而甲種瓜果每千克售價在去年12月份的基礎上提高m%，乙種瓜果每千克售價在去年12月份的基礎上提高1.2m%，與此同時，每月甲種瓜果的銷售量均在去年12月份的基礎上減少3m%，每月乙種瓜果的銷售量均在去年12月份的基礎上減少了2m%，這樣，預計今年1至5月銷售乙種瓜果獲得的總利潤比1至5月銷售甲種瓜果獲得的總利潤多40萬元，請參考以下數據，估算m的整數值（m≤10）．
（參考數據：32²=1024，33²=1089，34²=1156，35²=1225）

Answer 1

分析：（1）直接運用待定系數法根據y₁與x之間的函數圖象和y₂與x之間的函數關系表就可以求出y₁與x之間的函數關系式和y₂與x之間的函數關系式；
（2）設同時出售甲、乙兩種瓜果的總利潤為W萬元，先根據利潤=售價-成本分別表示出甲種瓜果的利潤和乙種瓜果的利潤就可以表示出總利潤；
（3）先分別求出甲種瓜果今年1月份的成本為2.5（1+20%）=3元，售價為4（1+m%）元，銷量為（0.2×12+1）（1-3m%），乙種瓜果1月份的成本為2+1=3元，售價為（-

1

4

×12+8）（1+1.2m%）=5（1+1.2m%），銷量為（0.4×12+0.8）（1-2m%）=5.6（1-2m%），再根據今年1至5月銷售乙種瓜果獲得的總利潤比1至5月銷售甲種瓜果獲得的總利潤多40萬元為等量關系建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）設y₁與x之間的函數關系式為y₁=k₁x+b₁和y₂與x之間的函數關系式為y₂=k₂x+b₂，根據條件得：

7=6k1+b1 4=12k1+b1

，

7.75=k2+b2 7.5=2k2+b2

，
解得：

k1=- 1 2 b1=10

，

k2=- 1 4 b2=8

，
∴y₁=-

1

2

x+10，y₂=-

1

4

x+8；
（2）由題意，得
W=（y₁-2.5）p₁+（y₂-2）p₂，
=（-

1

2

x+10-2.5）（0.2x+1）+（-

1

4

x+8-2）（0.4x+0.8），
=-

1

5

x²+

16

5

x+

123

10

，
=-

1

5

（x-8）²+

251

10

，
∵a=-

1

5

＜0，
∴拋物線的開口向下，函數由最大值，在拋物線的左側W隨x的增大而增大，
∵拋物線的對稱軸為x=8，
∴當x=8時，W最大值=

251

10

．
∵1≤x≤6，
∴x=6時，W=

243

10

萬元，
∴在上半年的6月份同時出售甲、乙兩種瓜果的總利潤最大，最大值為

243

10

萬元；
（3）由題意得：
甲種瓜果今年1月份的成本為：2.5（1+20%）=3元，
售價為：4（1+m%）元，
銷量為：（0.2×12+1）（1-3m%），
乙種瓜果1月份的成本為：2+1=3元，
售價為：（-

1

4

×12+8）（1+1.2m%）=5（1+1.2m%），
銷量為：（0.4×12+0.8）（1-2m%）=5.6（1-2m%），
∴5[5（1+1.2m%）-3][5.6（1-2m%）]-5[4（1+m%）-3][3.4（1-3m%）]=40，
設m%=a，則有
5[5（1+1.2a）-3][5.6（1-2a）]-5[4（1+a）-3][3.4（1-3a）]=40，
整理，得
132a2-39a+1=0，
∴a=

39± 392-4×132×1

264

，
=

39± 993

264

．
∵32²=1024，
∴a=

39±32

264

，
∴a₁≈0.2689，a₂≈0.0265，
∴m%=0.2689或m%=0.0265，
∴m₁=26.89，m₂=2.65．
∵m是整數（m≤10）．
∴m=3．
答：m的整數值為3．

點評：本題是一道關于二次函數的運用的試題，考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的頂點式的運用，列一元二次方程解實際問題的運用及一元二次方程的解法的運用，解答時根據今年1至5月銷售乙種瓜果獲得的總利潤比1至5月銷售甲種瓜果獲得的總利潤多40萬元為等量關系建立方程是解答第三問的關鍵．