Question

【題目】已知△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，連結BE，AD，相交于點F．求證：

（1）AD＝BE；

（2）AD⊥BE．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠ECD＝∠ACB＝90°，CD＝CE，CA＝CB，則有∠BCE＝∠DCA，根據“SAS”可判斷△BCE≌△ACD，根據全等三角形的性質得到BE＝AD；

（2）由△BCE≌△ACD得到∠CBF＝∠CAD，然后根據∠ABC+∠CAD+∠BAD＝90°，得到∠ABC+∠CBF+∠BAD＝90°，最后根據三角形的內角和定理可知∠AFB＝90°．

證明：（1）∵△ABC與△CDE都是等腰直角三角形

∴CE＝CD，CB＝CA，∠DCE＝∠ACB＝90°．

∴∠DCE+∠BCD＝∠ACB+∠BCD．

∴∠ECB＝∠DCA．

在△BCE和△ACD中，

∴△BCE≌△ACD（SAS）．

∴BE＝AD．

（2）由（1）得：△BCE≌△ACD

∴∠CBF＝∠CAD．

∵∠ABC+∠CAD+∠BAD＝90°，

∴∠ABC+∠CBF+∠BAD＝90°．

∴∠AFB＝90°．

∴AD⊥BE．